熵是時間的箭頭嗎？
熱力學第二定律說，宇宙中的一切自發過程（孤立系統）皆朝熵增加的方向發展。這就是所謂的「熵增加原理」。例如，將一塊糖放進咖啡裡，糖會逐漸溶解，最後糖分子會均勻地分佈在整杯咖啡裡。又如，將一杯水撥到地上，水最後會蒸發在空氣中。等等。
上述的兩個過程都是朝熵增加的方向發展：糖在咖啡裡溶解後，宇宙中的熵增加了；水蒸發後，宇宙中的熵也增加了。但這個過程是不可逆的。溶解在咖啡裡的糖分子不會自動地結成糖塊，然後跑回你手中；蒸發在空氣中的水分子不會自動地回到地面，然後再回到杯子裡。
從經典物理學到廣義相對論再到量子力學，絕大多數物理方程都是時間上對稱的。即如果將時間的方向顛倒過來，這些物理方程都不會有實質上的不同，它們都無法區分過去和將來。但熱力學第二定律則不同，它在時間上是不對稱的，熵總是隨時間而增加。於是，物理學家認為，熵是時間的箭頭，它標示了時間的方向。
然而，這種說法到底是甚麼意思？「時間的箭頭」只是一種比喻，當物理學家說「熵是時間的箭頭」時，顯然不僅僅是說「熵隨時間而增加」這個物理規律，而是想表達一種更深刻、更有哲學意味的東西。那麼，他們到底想表達一種甚麼樣的哲學觀念呢？
當物理學家闡述熵與時間的方向這個論題時，有時會說，當熵達到極大值時時間就停止了。例如，彼得·柯文尼和羅傑·海菲爾德說：「……熵給所有孤立系統提供了一個時間箭頭，當熵達到它的極大值時，孤立系統的時間演化就停止了……」 有時又會說，當熵減少時時間就會掉轉。例如，諾貝爾物理學獎得主羅傑·彭羅斯認為，如果熵減少，則「在我們所有的描述中把『過去』和『將來』，『以前』和『以後』等術語互相交換一下就可以了。可以認為時間沿着和原先認定的相反的方向前進……」 在這個問題上，霍金也有他的一套看法，我們將在下一節討論他的觀點。
因此，物理學家們似乎將熵的增加與時間的方向等同：如果熵增加，則時間在正方向上行進；如果熵減少，則時間在反方向上行進；如果熵達到極大值，則時間停止了。我們將會看到，這種觀點是違反邏輯的。
霍金認為，熱力學的時間箭頭與心理學的時間箭頭是一致的。他這樣論證：
[……]然而，假使上帝決定不管宇宙從何狀態開始，它都必須結束於一個高度有序的狀態，則在早期這宇宙有可能處於無序的狀態。這意味著無序度將隨時間而減少。你將會看到破碎的杯子，集合起來並跳回到桌子上。然而，任何觀察杯子的人，都生活在無序度隨時間減少的宇宙中，我將論證這樣的人會有一個倒溯的心理學時間箭頭。這就是說，他們會記住將來的事件，而不是過去的事件。當杯子被打碎時，他們會記住它在桌子上的情形；但是當它是在桌子上時，他們不會記住它在地面上的情景。
由於我們知道大腦工作的細節，所以討論人類的記憶是相當困難的。然而，我們確實知道，電腦的記憶體是如何工作的。所以，我將討論電腦的心理學時間箭頭。我認為，假定電腦和人類有相同的箭頭是合理的。如果不是這樣，人們可以因為擁有一臺記住明年價格的電腦，而使股票交易所垮臺。
大體來說，電腦的記憶體是一個包含可存在於兩種狀態中的任一種狀態的元件的設備，算盤是一個簡單的例子。其最簡單的形式是由許多鐵條組成；每一根鐵條上有一念珠，此念珠可待在兩個位置之中的一個。在電腦記憶體進行儲存之前，其記憶體處於無序態，念珠等機率地處於兩個可能的狀態中。（算盤珠雜亂無章地散佈在算盤的鐵條上。）在記憶體和所要記憶的系統相互作用後，根據系統的狀態，它肯定處於這種或那種狀態（每個算盤珠將位於鐵條的左邊或右邊。）這樣，記憶體就從無序態轉變成有序態。然而，為了保證記憶體處於正確的狀態，需要使用一定的能量（例如，移動算盤珠或給電腦接通電源）。這能量以熱的形式耗散了，從而增加了宇宙的無序度的量。人們可以證明，這個無序度增量，總比記憶體本身有序度的增量大。這樣，由電腦冷卻風扇排出的熱量，表明電腦將一個項目記錄在它的記憶體中時，宇宙無序度的總量仍然增加。電腦記憶過去的時間方向，和無序度增加的方向是一致的。
在上述引文中，霍金以電腦類比人腦，論證了如果宇宙中熵減少，則人就會記住將來的事件，而不是過去的事件。理由是：當電腦記住過去的事件，宇宙中熵增加了。其論證的核心思想可以表示如下：
但這個論證是無效的，因為從P1推不出C來。要使得霍金的論證有效，必須補充兩個前提 P2 和 P3 ：
[ P2：我們或者記住過去的事件，或者記住未來的事件。]
[ P3：如果宇宙中熵減少，則並非宇宙中熵增加了。]
霍金的論證暗含着 P2 和 P3 這兩個前提，補上這兩個前提，就能推出 C 。具體論證如下：假設宇宙中熵減少；它與 P3 能推出 Q1 ：並非宇宙中熵增加了； Q1 和 P1 能推出 Q2 ：並非我們記住過去的事件； Q2 和 P2 能推出 Q3 ：我們記住未來的事件；結合前面的假設就證明了 C ：如果宇宙中熵減少，則我們就會記住未來的事件。
從 Q2 和 P2 推出 Q3 ，叫作選言三段論（disjunctive syllogism）。一個正確的選言三段論，其表達選言命題的前提（在這個例子中就是 P2）必須窮盡所有的可能性。P2顯然並沒有窮盡所有的可能性，還有一個可能性它忽略了：我們沒有任何記憶。由於當我們記住一件事的時候必定會導致宇宙中熵增加，因此，如果我們生活在一個熵減少的世界裡，我們很可能沒有任何記憶而不是記住未來的事。未來的事情都還沒有發生，我們如何能記住未來的事？霍金的論證犯了非黑即白的謬誤。
前面提到，有些物理學家認為，如果宇宙中熵減少，則時間就會在相反的方向上行進。即時間就會從未來走向過去。但這怎麼可能？「未來」指即將存在但尚未存在的事物，「過去」指曾經存在但已不再存在的事物。按照「未來」、「過去」這些時間性概念的定義，過去必定先於未來，時間必定是從過去走向未來，而不可能是從未來走向過去。
我們看到，物理學家在這裡混淆了物理的必然性與邏輯的必然性。或者說混淆了經驗命題與分析命題。在一個孤立的系統中，一切變化過程總是朝熵增加的方向發展，這是物理上的必然，但不是邏輯上的必然。原則上，這種變化過程有可能朝熵減少的方向發展，但機率極小，在現實世界中不會發生。熱力學第二定律所揭示的規律是一種統計規律。溶解在咖啡裡的糖分子有可能在某一時刻突然同時朝某一方向運動，從而重新凝結成一塊糖並且跑回你手中。散發在空氣中的水分子也有可能突然聚在一起，跑回杯子裡。但發生這種事情的機率極小，在現實世界中不可能發生。
相反，時間從過去走向未來則是邏輯上必然的。因為根據「未來」、「過去」等概念的定義，時間不可能從未來走向過去。我們有關的時間概念就是這樣用的。熵增加原理反映的是經驗事實，而時間從過去走向未來反映的是邏輯規則。換句話說，「熵總是增加」表達了一個經驗命題；而「時間從過去走向未」則是一個分析命題。
因此，不能將熵的增加與時間的方向等同。在邏輯上，任何變化過程都有可能朝熵減少的方向發展，「宇宙中熵減少」這句話並沒有矛盾。但時間不可能從未來走向過去，「時間從未來走向過去」是自相矛盾的。
當我們說「熵總是增加」時，這句話到底是甚麼意思？它的意思是「熵總是隨着時間的增加而增加」。那麼，「熵總是減少」的意思就是「熵總是隨着時間的增加而減少」；但這樣一來，物理學家說「當宇宙中熵減少，時間就會向相反的方向行進」，便是自相矛盾的說法，因為它蘊涵「隨着時間的增加，時間向相反的方向行進」。為什麼會這樣？從下面的分析我們將會看到，物理學家混淆了前景概念和背景概念。
當我們說某某東西不斷地增加時，意思是說這種東西隨着時間的增加而增加。同樣的，當我們說某某東西不斷地減少時，意思是說這種東西隨着時間的增加而減少。因此，任何事物無論增加還是減少，都是在時間的正方向上增加或減少。也就是說，當我們說某某東西增加或減少時，我們已經預設了時間，時間是不可或缺的背景或座標。相對於「增加」、「減少」、「前進」、「後退」、「發展」、「變化」等前景概念，「時間」是背景概念。一切的發展和變化，無論是前進還是後退，無論在數量上是增加還是減少，都是在時間中發生的。在「增加」、「減少」、「前進」、「後退」、「發展」、「變化」等的概念裡，已經包含着「時間」的概念。或者說，這些概念的結構包含着時間的成分。
因此，我們只能說「人類的科技在不斷地進步」、「在特朗普統治下，美國的民主發生倒退」、「由於指揮失誤，戰場上的形勢產生逆轉」，等等。但不能在類似的意義（經驗陳述的意義）上說「時間在正方向上行進」或「時間向相反的方向運行」。因為「行進」、「運行」都預設了時間，事物是在時間中行進和運行的。上述說法似乎說時間在時間中行進或運行，但這是荒謬的。相對於「行進」、「運行」這些前景概念，「時間」是背景概念。「時間在正方向上行進」或「時間向相反的方向運行」等說法是混淆了前景概念和背景概念，將「時間」這個背景概念同時也用作前景概念。這種說法不合邏輯，犯了範疇的錯誤。
維根斯坦認為，對於存放在巴黎的標準米，我們既不能說它是1米，也不能說它不是1米。即不能在陳述經驗事實的意義上說它是 1 米或不是 1 米。說標準米是 1 米，只能看作是對一種規則的制定，即對1米下一個定義。同樣的，「時間從過去走向未來」也不陳述任何經驗事實，它只是一個語法命題，展示了「過去」、「未來」等詞的用法。
熵增加原理反映了經驗事實，它描述了物理世界的一種規律。「時間從過去走向未來」並不反映任何經驗事實，它揭示了「過去」和「未來」這兩個概念之間的邏輯關係。因此，不能將熵的增加與時間的方向等同。無論宇宙中的熵是增加還是減少，時間的方向都不會改變。因為無論是增加還是減少，都是在時間中進行的。熵確實總是隨時間而增加，但它不是標示時間方向的箭頭。標示時間方向的箭頭是邏輯。
